【授業☆しょ~かい】『電気回路』ふりかえりでテーラー展開! 電子技術科(都留キャンパス)No.068

2019年09月09日

こんにちは。あんどくんです。
電子技術科をPRしているよ!
みんな、令和元年もリアルに応援よろしくね (*´ω`)/
今日、令和元年9月6日(金)は、1限に1年生の『電気回路』におじゃましたんだ。
また、3限は、1年生が後期から本格的にスタートする就活に向けて、『マイナビ全国一斉SPI模試』を受験したんで、試験の会場におじゃましたんだよ。令和元年9月6日(金)の前編では、1限の『電気回路』について、後編では『マイナビ全国一斉SPI模試』の様子を紹介するよ。

1限の『電気回路』は、昨日が前期末試験だったんで、今日は試験の『ふりかえり』を行ったんだよ。
試験問題で、電流の複素実効値から、偏角 (位相) を求める問題があったんだよ。
この問題を要約すると、変数 x の値がわかっているときに、つぎの関数:

        f ( x ) = arctan x                                       (1)

の値を求める問題なんだよ。
関数電卓を使わないと計算できないけど、x の大きさが 1 より小さい場合 ( | x | < 1 ) には、『電気数学Ⅰ』で学んだ『テーラー展開』を使うと、すぐに f ( x ) の値が求まるんだよ。

 

さっそく、f ( x ) = arctan x の『テーラー展開』を、計算してみるよ。
| x | < 1 の場合には、

       f ( x ) =  f ( 0 ) + f ‘( 0 ) x + ・・・        (2)

のように、x について 1 次の項まで考えれば十分なんだよ。例えば、x = 0.1 のときは、x^2 = 0.01、x^3 = 0.001, ・・・っていうように、2 次以上の項が、x に比べてどんどん小さくなるから、無視できるんだよ。

 

 

arctan 関数の計算は、

       y = arctan x                                               (3)

とおいて、これを逆に解いて、

       x = tan y                                                    (4)

のように tan 関数を使って書き直すと見通しがよくなるんだよ。
例えば、 f ( 0 ) の値は、式(3)で x = 0 とおくと、 すぐに y = 0 だってわかるよね!
また、f(x) の 1 階微分は、逆関数の微分に関する関係式:

       f ‘( x ) = dy / dx = 1 / (dx / dy)             (5)

を使えばいいんだよね。式(5)に、式(4)の両辺を y で微分して得られる

       dx / dy = 1 / ( cos y )^2 = 1 + x^2       (6)

を代入すると、つぎのようになるんだよ。

       f ‘( x ) = 1 / ( 1 + x^2 )                             (7)

なので、

     f ‘( 0 ) = 1                                                    (8)

となるね。

 

そうすると、式(8)を式(2)に代入して、f ( x ) = arctan x の『テーラー展開』が、次のように得られるよ。

     f ( x ) = arctan xx                                (9)

 

試しに、x = 0.1 と0.5 のときに arctan x を、関数電卓で計算してみたんだよ。
そしたら、

       x = 0.1 → arctan x = 0.09966
       x = 0.5 → arctan x = 0.4636

ってなったんだ。そんなに、ワルい値じゃないよね!

こんな感じで、 | x | < 1 のときは、関数電卓で arctan x を計算しなくてもいいんだよ。

 

電気回路』の話は、ここまで。

後編では、『マイナビ全国一斉SPI模試』の様子を紹介するよ。

それじゃ ≡3 ≡3 ≡3

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