【授業☆しょ~かい】『渦なしの法則』の微分形と関数の『近似形』だよ。電子技術科(都留キャンパス)No.292

2020年10月26日

こんにちは。あんどくんです 。
電子技術科をPRしているよ ☆彡
みんな、令和2年もリアルに応援よろしくね ( `・ω・´)ノ
産短大は、前期授業がスタートして、18週目に突入したんだよ。
今日、令和2年9月8日(月) の『前編』では、1限におじゃました2年生の『卒業研究 (工学基礎理論2) 』と、2限におじゃました1年生の『電気数学Ⅰ』を紹介するよ。また『後編』では、3,4限におじゃました2年生の『プログラミング演習』を紹介するよ。

 

電子技術科 (都留キャンパス) の『卒業研究』は、電子工学の理論を学ぶ 『卒業研究 (工学基礎理論1・2) 』と、より専門的な電子技術を身につける 『卒業研究 (電子工学技術) 』 からなるんだ。また『卒業研究 (工学基礎理論1・2 ) 』は、1年次に『微分方程式』まで学んだグループと、高校数学の基礎から2年間かけてじっくり学ぶグループに分かれてやっているんだ。今回は『卒業研究 (工学基礎理論2) 』の前者のグループにおじゃましたんだ。

この グループでは電磁気学を題材として、『ベクトル解析』 について学んでいるんだよ。

今回は、前回のつづきで『渦なしの法則』の積分形:

       ∫ E ( r )・t dr = 0      (a1)

から、微分形:

       × E ( r ) = 0       (a2)

を導出していくんだよ。
そのためには、閉ループの積分路 C として、下の写真みたいに一辺の長さが微小な長方形を考えるんだ。この長方形の各辺を(A) (B) (C) (D) として、前回は辺 (A)と (B) に渡る『電場ベクトル』の接線成分の積分を求めたんだ。
その結果は、つぎのようになったんだよ。

       辺(A)+(B)に渡る積分 = – m{ E ( r ) ・ l } ΔS       (a3)

ここで ΔS は、長方形の面積だよ.

 

今回は、残りの辺 (C)と(D)に渡る積分を求めたんだよ。

 

最終的な結果は、つぎのようになったんだよ。

      辺(C)+(D)に渡る積分 = l{ E ( r )・ m } ΔS      (a4)

 

式(a3)と(a4)から、辺(A)(B)(C)(D) に渡る積分を求めると・・・

 

その結果は、

      辺(A)~(D)に渡る積分
              [ l{ E ( r )・m } – m{ E ( r )・ l } ] ΔS      (a5)

となるんだよ。

 

式(a5)の右辺で、ベクトルをシグマ記号ベクトルの成分で表して・・・

 

さらに計算を進めると、

 

最終的に、

      辺(A)~(D)に渡る積分 = ( l × m )・{× E ( r ) } ΔS      (a6)

が得られるんだ。

今回はここまで。

 

2 限の時間におじゃました1年生の『電気数学Ⅰ』は、高校で微分積分を学んだグループと、学んでなかったり学んだけど学び直したいっていうグループに分かれてやっているんだよ。
今回は、前者のグループにおじゃましたんだよ。

今回は、18回目の最終回だったんだよ。

はじめに、sin 関数どうしの積の定積分を求めたんだ。

 

積分区間 [ 0, 2π ] の定積分をブラ記号とケット記号で表すと、最終的な結果は、

      < sin mx, sin nx > = π δmn     (b1)

になるんだよ。ここで、記号 δmn は、m = n とき1、 mn のとき0になる定数で『クロネッカのデルタ』っていうんだよ。

 

同様にして

     < cos mx, sin nx > = 0      (b2)
     < cos mx, cos nx > = π δmn     (b3)

になるんだ。式(b2)と(b3)の導出は、来週までの宿題になったんだよ。

 

ここで 、式(b1)-(b3)は『三角関数の直交関係』っていって、工学の分野で重要な関係式なんだよ。

 

つぎに関数 ( 1 + x )^α の『テイラー展開』を求めたんだよ。

 

特に、| x | < 1 のときは、次数が大きくなるほど x のベキが小さくなるんで、関数を『テイラー展開』の1次の項で近似できるんだ。なので 、| x | < 1 のとき、次の近似式が成り立つんだよ。

     ( 1 + x )^α ~ 1 + α x     for  | x | < 1      (b4)

 

式(b4)を使うと,| x | < 1 のとき,つぎの近似式が成り立つんだよ。

     √( 1 + x ) ~ 1 + ( 1 / 2 ) x   for | x | < 1      (b5)
     √( 4 + x ) ~ 2 + ( 1 / 4 ) x   for | x | < 1      (b6)

 

この近似の精度が、どれくらいなのか、実際に電卓で計算してみたんだよ。
下の写真の結果から、x = 0.1 のときでも、かなりよい近似になっていることがわかったんだよ。

 

最後に,sin 関数の『テイラー展開』から得られる近似式:

      sin x  ~  x     for | x | < 1       (b7)

についても調べてみたんだよ。そしたら、x = 0.1 でも、かなりよい近似になっていることがわかったんだよ。ただし、x の単位は [rad]  (ラジアン)でないとダメだよ!

 

今回はここまで。

関数の『テイラー展開』を使うと、| x | < 1 での関数の近似式が得られるんだよ。

後編』につづよ ≡3

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