【授業☆しょ~かい】『ストークスの定理』と『渦なしの法則』の微分形だよ。 電子技術科(都留キャンパス)No.297

2020年10月27日

こんにちは。あんどくんです 。
電子技術科をPRしているよ ☆彡
みんな、令和2年もリアルに応援よろしくね ( `・ω・´)ノ
産短大は、前期授業がスタートして、19週目なんだよ。
今日、令和2年10月5日(月) の『前編』では、1限におじゃました2年生の『卒業研究 (工学基礎理論2) 』について紹介するよ。また、『後編』では、2,3限におじゃました2年生の『プログラミング演習』を紹介するよ。

電子技術科 (都留キャンパス) の『卒業研究』は、電子工学の理論を学ぶ 『卒業研究 (工学基礎理論1·2) 』と、より専門的な電子技術を身につける 『卒業研究 (電子工学技術) 』 からなるんだ。また『卒業研究 (工学基礎理論1·2 ) 』は、1年次に『微分方程式』まで学んだグループと、高校数学の基礎から2年間かけてじっくり学ぶグループに分かれてやっているんだ。今回は『卒業研究 (工学基礎理論2) 』の前者のグループにおじゃましたんだ。
このグループでは電磁気学を題材として、『ベクトル解析』 について学んでいるんだよ。

はじめに、前回の復習をしたんだよ。閉曲線 C に沿って、電場の接線方向成分を積分すると、積分値がゼロになるんだよ。

       ∮E · t dr = 0      (1)

これを『渦なしの法則』 っていうんだ。
前回は『渦なしの法則』の微分形を導くために、式(1)の右辺における閉曲線 C として、下の写真みたいな、一辺の長さが微小な長方形の四つの辺からなる閉曲線 C を考えて、積分を実行したんだ。

 

その結果は、下の写真みたいに、微小面積素 ΔS 法線ベクトル n を使って、次式のように表されるんだ。

       ∮· t dr = (× E ) · n ΔS      (2)

 

つぎに、1辺が互いに重なりあった、nコの微小面積素を考えたんだよ。このとき、一つひとつの微小面積素について、式(1)が成り立つんだ。この コの式を足し合わせて、互いに重なりあった辺に沿った積分が打ち消されることに注意すると、下の写真の結果が得られるんだ。

ここで、一つひとつの微小面積素を、さらに微小な面積素に分割して、極限 n →  ∞ を考えると、

     ΔSi → dS,    nin,    Σ → ∫

の置き換えができるんで、つぎの関係式:

     ∮E  ·t dr = ∬(×En dS      (3)

が得られるんだ。
この関係式は、電場ベクトルだけでなく、すべてのベクトルについて成り立つ数学の公式で、『ストークスの定理』っていうんだ。

 

式(1)の『渦なしの法則』に、式 (3) の 『ストークスの定理』を組合わせると・・・

 

渦なしの法則』の微分形:

      ×E = 0          (4)

が得られるんだ。

 

最後に『ガウスの法則』の積分形に『ガウスの定理』を使うと、『ガウスの法則』の微分形:

      ·E = (1/ε0) ρ     (5)

が得られるんだよ。

 

また『渦なしの法則』の積分形に『ストークスの定理』を使うと、 『渦なしの法則』の微分形:
∇×E=0 (6)
が得られることを確認したんだ。

 

また、恒等式:

     ×∇ Φ = 0      (6)

が成り立つことを示したんだよ。

このあとも続いたんだけど、ここまで・・・

卒業研究 (工学基礎理論2) 』は前期で終わりだけど、後期から『卒業研究 (工学基礎理論3) 』がはじまるんだよ。

後編』につづくよ ≡3

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