【授業☆しょ~かい】『一般解』は『特解』の線形結合だよ。 電子技術科(都留キャンパス)No.366

2021年01月20日

こんにちは。あんどくんです 。
電子技術科をPRしているよ ☆彡
みんな、令和2年もリアルに応援よろしくね( `・ω・´)ノ
産短大は、後期授業がスタートして、13週目なんだよ。
今日、令和3年1月12日(火)は、1限の時間に1年生の『電気数学Ⅱ』におじゃましたんだよ。

1年生の『電気数学Ⅱ』は、高校で微分積分を学んだグループと、学んでなかったり学んだけど学び直したいっていうグループに分かれてやっているんだよ。今回は、前者のグループにおじゃましたんだよ。このグループでは、前期にまなんだ『電気数学Ⅰ』の内容をもとに、『微分方程式』や『フーリエ変換』について学んでいくんだよ。

はじめに前回学んだ2階線形微分方程式』の解法について復習したんだ。
前回は、つぎのような定数係数をもつ同次方程式:

     y ” + p y ‘ + q y = 0     (1)

の解法について途中までやったんだ。
前回の結果から、このタイプの微分方程式では、関数 y ( x )

     y = exp [ – ( p / 2 ) x ] z ( x )      (2)

と置くことで、関数 z ( x ) について1階微分の項を含まない『標準形微分方程式:

     z ” + k z = 0     (3)

または

     z ” = – k z      (3′)

を解く問題に置き換わるんだ。

 

式(3′)の解は、定数 k の値が、正、負、ゼロにより異なるんだよ。

[i] k  =λ^2 > 0 の場合

このとき式(3′)は、次式のようになるよ。

     z ” = – λ^2 z     (4)

式(4)の方程式の『特解』は、すぐ確かめられるように

     cos λ xsin λ x

であることがわかるね。

[ii] k = – λ^2 < 0 の場合

このとき式(3′)は、次式のようになるよ。

     z ” = + λ^ 2 z     (5)

式(5)の方程式の『特解』は、すぐ確かめられるように

     exp ( + λ x )exp ( – λ x )

であることがわかるね。

[iii] k = 0 の場合

このとき式(3′)は、次式のようになるよ。

     z ” = 0     (6)

式(6)は、すぐに積分できるんで『一般解』が求まるんだ。
1回積分すると、

     z ‘ = C 1     (7)

となって、もう1回積分すると『一般解』が

     z = C 1 x + C 2     (8)

というように求まるよ。

 

はじめに [i] の場合の方程式:

     z ” = – λ ^ 2 z     (9)

について『一般解』を求めていくよ。
まずは、この方程式の『特解』のうちの一つ:

     z = cos λ x     (10)

に注目するんだ。
このとき、これを定数倍した

     z = C cos λ x     (11)

も『特解』なんだよ。

 

このことは、式(11)を直接微分することで確かめられるよ。

 

ここで、式(9)の『一般解』を『定数変化法』により、
式(11)で定数 Cx の関数 C ( x ) で置き換えた次の形:

     z = C ( x ) cos λ x     (12)

で仮定してみるんだ。

 

式(12)の両辺を x で 2 回微分した式と式(12)を、式(9)に代入すると、関数 C ( x ) に関して 2 階の微分方程式が得られるんだ。この微分方程式は、下の写真みたいに変形できるんで・・・

 

C'( x ) cos^2 λ x は定数になるんだ。

 

さらに、もう1回積分を実行することができて、C ( x )を下の写真みたいに求めることができるんだ。

 

このようにして得られた C ( x ) を、式(12)に代入すると、式(9)の『一般解』が次のように得られるんだよ。

     z = C 1 cos λ x + C 2 sin λ x     (13)

式(13)から『一般解』が、二つの『特解』の線形結合 ( 定数倍の和 ) で書けることがわかるね。

 

[ii] の場合の方程式:

     z ” = λ ^ 2 z     (14)

についての『一般解』の導出は、次回までの『宿題』になったんだよ。
この場合には、この方程式の『特解』のうちの一つを定数倍した『特解』:

     z = C exp ( + λ x )     (15)

に注目して、『定数変化法』を使えばいいんだよ。
その結果『一般解』は、二つの『特解』の線形結合として、次式で与えられるんだよ。

     z = C 1 exp ( + λ x ) + C 2 exp (- λ x )     (15)

 

2階線形微分方程式』の解法を学んだところで、さっそく『演習問題』の微分方程式:

     y ” – 2 y‘ – 3 y = 0     (16)

を解いたんだよ。
まずは、式(1)と(2)に示したとおり

     y = exp ( x ) z ( x )     (17)

とおくことで、つぎの『標準形』の微分方程式:

     z ” = 4 z     (18)

が得られるんだ。
この方程式から z の『特解』:

    exp ( 2 x ) と exp ( – 2 x )     (19)

が得られるんだよ。なので『一般解』が、これらの線形結合として、つぎのように表されるんだよ。

     z = C 1 exp ( + 2 x ) + C 2 exp ( – 2 x )      (20)

 

式(20)を式(17)に代入すると、最終的に y ( x ) の『一般解』:

     y = C 1 exp ( 3 x ) + C 2 exp ( – x )     (20)

が得られるよ。

今回はここまで

ふと窓の外を眺めてみると・・・
』が降り出していたんだよ。

 

今日はこの辺で・・・
電車で帰るよ ≡3

 

途中、特急の『通過待ち』で停車した『甲斐大和駅』も真っ白だったよ。

 

みんな、今日も1日おつかれさま ☆彡
今回学んだ『2階線形微分方程式』の解法は、『波動方程式』を解いて電磁波のふるまいを調べるときに使うんだよ。
今日も『産短大の毎日』をみてくれてありがとう!
また、明日からがんばろっ٩( ‘ω’ )و

それじゃ ≡3 ≡3 ≡3

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