【授業☆しょ~かい】『フーリエ級数展開』で周期波形を直流と交流に分けられるんだよ! 電子技術科(都留キャンパス)No.143

2019年12月26日

こんにちは。あんどくんです。
電子技術科をPRしているよ!
みんな、令和元年もリアルに応援よろしくね  (*´ω`)/
今日、令和元年12月24日(火)は、1限に1年生の『組込みプログラミング実習Ⅱ』、2限に1年生のグループ別授業『電気数学Ⅱ』におじゃましたんだ。
今日の前編では、これらの授業のようすを紹介するよ。また、後編では、電子技術科 (都留キャンパス) からの『お知らせ』があるよ。

 

組込みプログラミング実習Ⅱ』では、前期の授業アンケートの結果から、マイコンの『組込みプログラム』について、より深く学ぶため『C言語の文法』について学び直しているんだよ。

 

今回は『文字列』に関する試験を実施したんだよ。授業のプリントや作成したプログラムを参考にしながら、試験問題のプログラムをPADで設計するんだよ。設計が終わったら『プログラム設計図』をC言語でコーディングしていくんだ。
日ごろの成果を、発揮できたかな?!
試験のふりかえりで、自分の弱点がわかったら克服しておこうね。

 

次はグループ別授業『電気数学Ⅱ』におじゃましたんだ。
今回は前期の『電気数学Ⅰ』で微分積分を学んだグループにおじゃましたんだよ。
はじめに『2階線形同次方程式』の復習をかねて、演習問題を解いたんだよ。定数係数の場合は、下の写真みたいにすると・・・

 

1階微分の項がない『標準形』の『2階微分方程式』が得られるんだよね。

 

この方程式の『一般解』は、二つの『特解』を見つけて線形結合すれば、いいんだよね。

 

問題なく、すんなり『一般解』を求めることができたよ。
微分方程式』については、ここで終わりだよ。

 

ここからは、内容ががらりと変わって『フーリエ級数展開』について学んでいくんだよ。『フーリエ級数展開』は電子工学を学ぶうえで、すごく重要な解析方法なんだよ。

 

下の写真みたいに、同じ形を繰り返す波形を『周期関数』っていうんだ。いきなりだけど『周期関数』は 『フーリエ級数』に展開できるんだよ。

 

下の写真の『フーリエ級数展開 』を注意深くみてみるんだ。そうすると、右辺の第1項が、時間を含んでいないことに気がつくよね。なので、右辺の第1項は『直流』を表すんだよ。第3項は、角周波数 ω、2ω、3ω、・・・を持つ『正弦波交流』だよね。第2項は、よく知られた三角関数の関係式を使って

    cos (n ω t ) = sin ( n ω t + π / 2 )            (1)

と書き直せるので、この項も第3項と同様に、角周波数 ω、2ω、3ω、・・・を持つ『正弦波交流』ってことがわかるね。

こんな風に『フーリエ級数展開』っていうのは『周期関数』を『直流』成分と『交流』成分に分解する式なんだよ。

 

フーリエ級数展開』について学ぶ前に、つぎの演習問題を考えることになったんだ。
デジタル回路に出てくる『クロックパルス』は『直流』それとも『交流』どっちなの?

 

電気回路』で学んだように、

  • 直流:時間的に変動しない波形
  • 交流:時間に対して、周期的にプラスとマイナスを繰り返す波形

なんだよ。
そうすると『クロックパルス』は、『直流』にも『交流』にも当てはまらないね・・・

正解は、『直流』と『交流』が混じった波形なんだよ。

 

じゃあパルス振幅 5V (ボルト) の『クロックパルス』には、何Vの直流電圧が含まれているの?

正解は、2.5V だよ。そうすれば 『クロックパルス』から2.5Vを差し引くと、残った波形が、同じ割合でプラスとマイナスを繰り返す波形になって、振幅2.5Vの『正弦波交流』に近づくからなんだよ。

 

下の写真みたいに、直流2.5Vを差し引いた『クロックパルス』から、さらに、これと同じパルス角周波数ωを持ち、振幅2.5Vの『正弦波交流』を差し引いてみるんだ。そうすると、残りの波形が、何となく、ωよりも 角周波数が高い 2ω, 3ω, ・・・を持つ『正弦波交流』を含んでいそうな気がするよ。

こんな風に『クロックパルス』には、直流電圧と、角周波数 ω, 2ω, 3ω, ・・・交流電圧が含まれているんだよ。
これを数式で表したのが 『フーリエ級数展開』なんだよ。

 

クロックパルス』については、下の写真みたいな説明もできるんだよ。
パルスの『HI』の部分にだけ注目すると、この部分は直流 5V だよね。同様に『LOW』の部分にだけ注目すると、この部分は直流 0Vだよね。また『クロックパルス』のエッジの部分は、『クロックパルス』から、角周波数 ω の『正弦波交流』を差し引いたときに残る部分なんで、高周波 (2ω, 3ω, ・・・ ) の交流成分に対応していることがわかるよね。
最後に 『クロックパルス』の『立ち上がり』と『立ちさがり』の部分は、角周波数無限大の『正弦波交流』の成分が対応しているんだよ。

 

前編はここまで。
年明けの次回からは、本格的にガッツリ『フーリエ級数展開』を学んでいくよ

後編へつづく ≡3≡3≡3

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