【授業☆しょ~かい】プログラムの『関数化』でスッキリ!と関数の『対称性』で積分が楽チン! 電子技術科(都留キャンパス)No.150

2020年01月15日

こんにちは。あんどくんです。
電子技術科をPRしているよ!
みんな、令和2年もリアルに応援よろしくね (*´ω`)/
今日、令和2年1月14日(火)は、1限に1年生の『組込みプログラミング実習Ⅱ』、2限に1年生のグループ別授業『電気数学』におじゃましたんだ。

 

組込みプログラミング実習Ⅱ』では、前期の授業アンケートの結果から、マイコンの『組込みプログラム』について、より深く学ぶために『C言語の文法』を学び直しているんだよ。今回も、前回に引き続き『関数』について学んだんだ。

 

はじめに、前回取り組んだ、例題のプログラムの流れを『プログラム設計図』で復習したんだ。

 

せっかくなので、main 関数内に残された『ひとまとまりの処理』を、関数の外に出して『関数化』したんだよ。そしたら下の写真みたいに、 プログラムコードがスッキリ!見やすくなったね。

 

このあとは、例題の『プログラム設計図』を参考にしながら、演習問題のプログラムを設計したんだ。

 

main 関数のほかに、『関数』を3コ、設計したんだよ。授業中に終わらなかったから、次回までの宿題だよ。

 

2限の『電気数学Ⅱ』では、前期の『電気数学Ⅰ』で微分積分を学んだグループに、おじゃましたんだ。この授業では、前回に引き続き『フーリエ級数展開』について学んでいるんだよ。

 

下の写真みたいに、同じ波形が繰り返される関数を『周期関数』っていうんだ。『周期関数』は直流成分と、角周波数 ω, 2ω, 3ω, ・・・を持つ正弦波交流成分に分解して表すことができるんだ。これを数式で表したモノが『フーリエ級数展開』 なんだよ。

 

前回は、下の写真にある『展開係数a0, an, bn ( n = 1, 2, 3, ・・・ ) を求める公式を『三角関数の直交関係』を使って導出したんだよ。
この公式では、右辺にある定積分の積分区間が [ 0, T ] なんだけど被積分関数 (積分される関数) が、周期 T を持つ『周期関』のときには、 [ –T / 2 , T / 2 ] に変更できるんだよ。

 

下の写真では、周期関数 F ( t ) の関係式:

       F ( t + T ) = F ( t )             (1)

を使って、 F ( t ) の定積分の積分区間 [ 0, T ] [ –T / 2, T / 2 ] に変更できることを示したんだよ。

 

最終的に『展開係数a0, an, bn を求める公式は、下の写真みたいになるんだ。

 

展開係数』を求める公式で、積分区間を [ –T / 2,  T / 2 ] にしておくと、『周期関数』が『偶関数』や 『奇関数』のとき、積分の計算が、楽チンになるんだよ。

 

さっそく演習問題を解くことになったんだ。『対称パルス波』を『フーリエ級数に展開したときに 『展開係数a0, an, bn を求める問題だよ。

 

この演習問題を解く前に『偶関数』と 『奇関数』 について復習したんだ。これらの関数については、つぎの関係が成り立つんだよ。

       f ( – t ) =  f ( t )    for 偶関数             (2)
       f ( –t ) = – f ( t )  for 奇関数              (3)

偶関数 t = 0 に関して対称で、奇関数反対称っていうんだ。

 

ここで、『関数 f ( t ) について積分区間 [- T / 2, T / 2 ] の定積分を考えてみるんだ。
グラフを描いてみるとすぐにわかるんだけど f ( t )偶関数のときには、左半分の区間 [- T / 2, 0 ] と右半分の区間 [ 0, T / 2 ] についての定積分が同じになるんで、半分の区間 [ 0, T / 2 ] について定積分を計算して、結果を2倍すればいいんだよ。

 

一方、 f ( t )奇関数のときには、[ – T / 2, 0] [ 0, T / 2] についての定積分が逆符号になるんで、[ – T / 2, T / 2 ] の定積分はゼロになるんだ。

 

こんな風に、被積分関数 が偶関数奇関数のときには、積分の計算量を減らすことができて、楽チンになるんだよ。

 

演習問題の『対称パルス波』は 偶関数だね。なので、展開係数a0 の計算では、右半分の区間 [ 0, T / 2 ] について定積分を計算して2倍にすればいいんだね。計算の結果は、

       a0 = 0             (4)

になったんだ。
展開係数 a0 は、 ( t ) に含まれる直流成分なので『対称パルス』には直流成分が含まれていないことがわかるね。

 

つぎに展開係数 an を求めたんだよ。この場合には、被積分関数:

       f ( t ) cos nωt

で、f ( t )偶関数cos 関数も偶関数なので、被積分関数は偶関数になるんだ。なので、 右半分の区間 [ 0, T / 2 ] について定積分を計算して2倍すると、計算の結果は、

       an = [ 4 / ( ) ] sin ( / 2 )             (5)

になるんだよ。 sin 関数に注意すると、n の値が奇数のときしか値を持たないんだよ。

 

最後に展開係数 bn を求めたんだよ。この場合には、被積分関数:

       f ( t ) sin nωt

で、f ( t )偶関数sin 関数が奇関数なので、被積分関数は奇関数になるんだ。な ので、ただちに、

       bn = 0             (6)

が得られるんだ。

 

時間なんで、今回は、『展開係数』を求めたところでおしまい。

そろそろ『電車』で帰るよ≡3

 

みんな、今日も1日おつかれさま☆彡
被積分関数が対称性を持つときは、積分が楽チンになるんだよ。
今日も『産短大の毎日』をみてくれてありがとう!
また、明日からがんばろっ٩( ‘ω’ )و

それじゃ≡3 ≡3 ≡3

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