【授業☆しょ~かい】『プログラム設計』と『非周期関数』は周期∞の『周期関数』だよ! 電子技術科(都留キャンパス)No.166

2020年02月07日

こんにちは。あんどくんです。
電子技術科をPRしているよ!
みんな、令和2年もリアルに応援よろしくね (*´ω`)/
今日、令和2年2月4日(火)は、1限に1年生の『組込みプログラミング実習Ⅱ』、2限に1年生のグループ別授業『電気数学Ⅱ』におじゃましたんだ。

組込みプログラミング実習Ⅱ』では、前期の授業アンケートの結果から、マイコンの『組込みプログラム』について、より深く学ぶために『C言語の文法』を学び直しているんだよ。

 

今回は、試験に向けて『関数』と『配列』に関する演習問題のプログラムを、みんなでホワイトボードに設計したんだ。

 

設計しながら、ホワイトボードの『プログラム設計図』を、製図用紙に製図したんだ。

 

今回は、もう1問、演習問題のプログラムを設計したんだよ。

 

プログラム設計図』を製図用紙に製図したところで授業が終了。次回、製図した『プログラム設計図』をコーディングすることになったんだよ。

 

2限の『電気数学Ⅱ』では、前期の『電気数学Ⅰ』で微分積分を学んだグループに、おじゃましたんだ。この授業では、前回に引き続き『フーリエ級数展開』について学んでいるんだよ。

周期関数』は直流成分と、角周波数 ω,  2 ω,  3ω,  ・・・を持つ正弦波交流成分に分解すること ができるんだ。これを数式で表したモノが『フーリエ級数展開』だよ。
今回は、演習問題として、下の写真の『のこぎり波』をフーリエ級数に展開したんだ。

 

はじめに、展開係数 a0 を求めたんだよ。展開係数 a0 f ( t ) に含まれる直流成分を表してい て、一周期にわたる f ( t ) の面積の平均値であらわされるんだ。 f ( t ) の対称性がなので、直ちに

         a0 = 0         (1)

となるよね 。

 

つぎに、展開係数 an ( n >= 1 ) を求めたんだ。展開係数 an は、 f ( t ) cos nωt の積を一周期に渡って積分した『重なり積分』で表されるんだ。
f ( t ) の対称性がで、cos nωt の対称性がなんで、 f ( t ) cos nωt の積は になるんだ。 なので、直ちに

         an = 0         (2)

となるんだよね。

 

最後に bn ( n >= 1 ) を求めたんだ。 展開係数 bn は、 f ( t )sin nωt の『重なり積分』なんだ。 f ( t ) の対称性がで、 sin nωt の対称性がなんで、 f ( t )sin nωt の積はになるんだ。 なので、積分はゼロにはならないけど、積分区間を半分にして、その結果を2倍すればいいんだよ。
f ( t ) の波形から、 f ( t ) を数式で表して積分を実行すると・・・

 

最終的に、bn が次式のように得られたんだよ。

      bn = [ 2 / ( nπ ) ] ( -1 ) ^ ( n + 1 )          (3)

この式から、b1, b2, b3, b4, ・・・を具体的に書き下してみると、次のようになるんだ。

     b1 = ( 2 / π )
     b2 = – ( 1 / 2 ) ( 2 / π )
     b3 = ( 1 / 3 ) ( 2 / π )
     b4 = – ( 1 / 4 ) ( 2 / π )
           :

これらの結果から、bn の大きさが、b1 ( 1 / n ) 倍になってることがわかるね。

 

横軸を角周波数、縦軸を展開係数 bn として『フーリエスペクトル』を描くと、下の写真みた いになるんだ。
こんな風に、周期関数の『フーリエスペクトル』は、とびとび (離散スペクトル) になるんだよ。
ここで、隣り合うスペクトル同士の周波数間隔 Δω は、

    Δω = ω = 2π / T          (4)

になっているんだ。なので、周期 T が大きいほど『フーリエスペクトル』の間隔がせばまるんだよ。

 

下の写真みたいに、波形が周期的でない『非周期関数』を考えてみるよ。
非周期関数』は『周期関数』じゃないので『フーリエ級数』に展開できないんだよ。
でも『非周期関数』を、周期 T の『周期関数』とみなすことで『フーリエ級数』に展開できるん
だ!!

 

なので『非周期関数』の『フーリエ級数展開』に関する展開公式は、『周期関数』の『フーリエ級数展』の関係式で、極限 T → ∞ をとることで得られるんだよ。このとき得られる関係式を『フーリエ変換』っていうんだよ。

 

ところで『周期関数』の『フーリエスペクトル』は、とびとびの『離散スペクトル』だったよね。また、隣り合うスペクトル同士の周波数間隔 Δω は、

    Δω = ω = 2π / T         (5)

たったよね。
ここで『非周期関数』の『フーリエスペクトル』がどんな風になるか予測してみるよ。
非周期関数』は、周期 T の『周期関数』とみなせるので、隣り合うスペクトル同士の周波数間隔 Δω に対して極限 T → ∞ をとると、

    Δω = 2π / T → 0         (6)

となるんだ。したがって、隣り合うスペクトル同士の周波数間隔 Δω がゼロになるんで『非周期関の『フーリエスペクト』は『連続スペクトル』になるんだよ!

 

今日は、1限で『プログラム設計』、2限で『フーリエ級数展開』と、お疲れさまでした!
昼食のあと、3限が『体育』なんで、おもいっきり体を動かしてストレス発散だね。

 

 

今日は、ここまで。
電車』で帰るよ≡3

 

みんな、今日も1日おつかれさま☆彡
非周期関数』は、周期が∞の『周期関数』とみなせるんだよ!
今日も『産短大の毎日』をみてくれてありがとう!
また、明日からがんばろっ٩( ‘ω’ )و

それじゃ ≡3 ≡3 ≡3

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